Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Définition
Soit \(\Delta\) une droite du plan et \(\text{M}\) un point du plan.

• On suppose que le point \(\text{M}\) n'appartient pas à la droite \(\Delta\).
  

On appelle projeté orthogonal de \(\text{M}\) sur la droite \(\Delta\) le point \(\text{H}\) de la droite \(\Delta\) tel que les droites \(\Delta\) et \((\text{MH})\) sont perpendiculaires.

• Lorsque le point \(\text{M}\) appartient à la droite \(\Delta\), on dit que \(\text{M}\) est son propre projeté orthogonal sur cette droite.
  

Propriété

Soit \(\Delta\) une droite du plan et \(\text{M}\) un point du plan.
Le projeté orthogonal \(\text{H}\) du point \(\text{M}\) sur la droite \(\Delta\) est le point de la droite \(\Delta\) le plus proche de \(\text{M}\).

Démonstration

Premier cas : \(\text{M}\) appartient à la droite \(\Delta\)
Les points \(\text{M}\) et \(\text{H}\) sont confondus donc \(\text{MH}=0\). 
Soit \(\text{A}\) un point de la droite \(\Delta\), distinct de \(\text{H}\). On a alors \(\text{MA}>0\) donc \(\text{MA}>\text{MH}\).
Ainsi, \(\text{H}\) est le point de la droite \(\Delta\) le plus proche de \(\text{M}\).

Second cas : \(\text{M}\) n'appartient pas à la droite \(\Delta\)
Soit \(\text{A}\) un point de la droite \(\Delta\) , distinct de \(\text{H}\) .

Le triangle \(\text{AMH}\) est un triangle rectangle en \(\text{H}\). Son hypoténuse est \(\text{AM}\).
\(\)On peut donc appliquer le théorème de Pythagore : \(\text{AM}^2=\text{AH}^2 + \text{MH}^2\).
Or le point \(\text{A}\) est distinct du point \(\text{H}\), donc \(\text{AH}>0\), d'où \(\text{AH}^2>0\).
On peut ajouter, membre à membre, \(\text{MH}^2\).
\(\)On obtient donc \(\text{AH}^2+\text{MH}^2>\text{MH}^2\).
D'où \(\text{AM}^2>\text{MH}^2\).
Les longueurs \(\text{AM}\) et \(\text{MH}\) étant positives, on a donc \(\text{AM}>\text{MH}\).
Ainsi, \(\text{H}\) est le point de la droite \(\Delta\) le plus proche de \(\text{M}\).
Ou encore \(\text{MH}\) est la plus petite distance entre le point \(\text{M}\) et la droite \(\Delta\).

Définition

Soit \(\Delta\) une droite du plan et \(\text{M}\) un point du plan.
Soit \(\text{H}\) le projeté orthogonal du point \(\text{M}\) sur la droite \(\Delta\).
La distance \(\text{MH}\) est appelée distance du point \(\text{M}\) à la droite \(\Delta\).